ABAQUS的直齒圓柱齒輪模態(tài)有限元分析

齒輪是最常用的零部件之一,起到了傳遞扭矩的作用。為了研究齒輪固有頻率和振型的影響因素,改善齒輪的動態(tài)特性,齒輪通過與其它齒狀機(jī)械零件(如另一齒輪、齒條、蝸桿)傳動,可實(shí)現(xiàn)改變轉(zhuǎn)速與扭矩、改變運(yùn)動方向和改變運(yùn)動形式等功能。

本文運(yùn)用SolidWorks 三維建模軟件建立齒輪建模,并運(yùn)用ABAQUS和振動分析理論對模型進(jìn)行模態(tài)分析,用Lanczos算法提取固有頻率,得到齒輪的模態(tài)和振型,為優(yōu)化齒輪的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供支持。

本文以ABAQUS有限元分析軟件為平臺, 對齒輪進(jìn)行模態(tài)分析, 提取了前6階固有頻率與振型, 通過不同材料和腹板倒角的齒輪選擇,對固有頻率與振型變化趨勢的分析, 為齒輪的結(jié)構(gòu)設(shè)計和優(yōu)化及提供了設(shè)計依據(jù), 同時為進(jìn)一步的動力學(xué)分析奠定了基礎(chǔ)。

1.基本理論

模態(tài)是機(jī)械結(jié)構(gòu)的固有振動特性, 指結(jié)構(gòu)在各頻率下的動態(tài)響應(yīng), 一個系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是其若干階模態(tài)振型的綜合。對于一般的多自由度系統(tǒng)來說,運(yùn)動都可以由其振動的模態(tài)來合成,有限元的模態(tài)分析就是建立模型模態(tài)進(jìn)行數(shù)值分析的過程,其運(yùn)動微分方程是

(1)

其中

{M}--質(zhì)量矩陣;

[C]--阻尼矩陣;

[K]--剛度矩陣;

X(t)--系統(tǒng)各點(diǎn)的位移響應(yīng)向量;

F(t)--系統(tǒng)各點(diǎn)的激勵力向量;

對于無阻尼無振動的自由系統(tǒng)來說,阻尼項(xiàng)和外力項(xiàng)都是零,于是上述微分方程可以化為

(2)

由于彈性體的自由振動可以分為一系列的簡諧運(yùn)動的疊加,為了確定彈性體的自由振動固有頻率和振型,考慮簡諧運(yùn)動的解為

(3)

把(3)帶入(2)

(4)

這是一個關(guān)于{x(t)} 的n 元線性齊次代數(shù)方程組, 該方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式等于0,即

(5)

該行列式稱為特征行列式。將它展開可得到關(guān)于w的n次代數(shù)式此式稱為系統(tǒng)頻率方程

(6)

假定系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣都是正定的實(shí)對稱矩陣,在數(shù)學(xué)上可以證明,在這一條件下,頻率方程(6)的n個根均為正實(shí)根,他們對應(yīng)系統(tǒng)的n個固有頻率,即這里假定各根互不相等,即沒有重根,因此可以由小到大排列為w12 <w22 <w32 <...wn2 ,將求得的wi(i=1,2,3....n)帶入(3)得相應(yīng)的解{x(t)},這就是系統(tǒng)的模態(tài)向量或振型向量。

由于直接在abaqus中建立齒輪的模型比較麻煩,故先在solidworks中建立齒輪的三維模型,然后再導(dǎo)入abaqus中。

圖1 齒輪模型

2.2.齒輪邊界約束

對齒輪進(jìn)行模態(tài)分析的目的主要是獲得齒輪不同階下的固有頻率和振型,因而不需要對齒輪進(jìn)行加載,只需約束其邊界條件,根據(jù)齒輪的工作條件,對齒輪的內(nèi)圓柱面和鍵槽面的x、y、z方向的平動位移進(jìn)行約束。

2.3.齒輪網(wǎng)格劃分

對齒輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分,最大整體尺寸為3,幾何次數(shù)選擇線性攝動,選取單元類型為四面體單元C3D4。

不同材料的彈性模量和泊松比及密度不同,進(jìn)而會影響到齒輪的固有頻率和振型,本文中選擇灰口鑄鐵、球墨鑄鐵、鑄鋼、碳鋼和合金鋼。通過模態(tài)分析查看不同材料對于齒輪固有頻率的影響,因?yàn)榈碗A頻率對于結(jié)構(gòu)的振動影響較大,所以僅取了模態(tài)的前6階模態(tài)分析結(jié)果,圖2是齒輪的振型圖以及最大位移振動變化,由于不同材料的振型圖較多,故只選取碳鋼的齒輪的1、3、5階振型圖作為示意。

一階振型圖

三階振型圖

五階振型圖

圖2 碳鋼齒輪的1、3、5階振型圖

由振型圖可以很直觀的看出齒輪的振動形態(tài),觀察到齒根處和輪齒為齒輪的薄弱環(huán)節(jié),在低階情況下,通過分析不同材料齒輪的振型圖,可以發(fā)現(xiàn)齒輪的振型主要為扭轉(zhuǎn)和彎曲振動,齒輪的階數(shù)越高,振動的位移越大,齒輪振動越劇烈,噪音越大。表1是不同材料的齒輪在不同階下的固有頻率,并將數(shù)據(jù)繪制成曲線圖,如圖3所示。

表1 不同材料齒輪的固有頻率(單位:KHZ)

圖3 不同材料與固有頻率之間的關(guān)系

曲線圖3表明:對同一種材料,振動階數(shù)越大,其固有頻率越大在階數(shù)相同的情況下,材料的彈性模量越大,其固有頻率越大;并且在2-3階之間,頻率增大非常明顯。

3.2.腹板厚度不同

下面來研究腹板厚度對于齒輪固有頻率的影響:齒輪的材料為碳鋼,通過改變齒輪腹板的厚度來改變齒輪結(jié)構(gòu),通過腹板厚度的不同來分析齒輪固有頻率的變化規(guī)律。該模態(tài)分析中腹板厚度取值為D=4,8,12,16,20,由于振型圖較多,下圖4是選取齒輪腹板厚度D=4時的1、3、5階振型圖作為示意。

一階振型圖

三階振型圖

五階振型圖

圖4 腹板厚度D=4的齒輪1、3、5階振型圖

通過改變腹板厚度來改變齒輪的結(jié)構(gòu),來查看不同的齒輪結(jié)構(gòu)對于齒輪的固有頻率的影響,在齒輪鑄造時候,可以作為腹板厚度的參考依據(jù),選擇合理的厚度,可以一步減輕齒輪的振動,減少齒輪振動時候的噪音,為齒輪結(jié)構(gòu)的優(yōu)化提供理論依據(jù)。

表2 不同腹板厚度齒輪的固有頻率(單位:KHZ)

Tab.2 Natural frequency of different web thickness gear

圖5 不同腹板厚度與固有頻率之間的關(guān)系

從曲線圖5表明:在階數(shù)相同的情況下,齒輪腹板的厚度越大,則齒輪的固有頻率越大。隨著階數(shù)的增加,齒輪的固有頻率會呈現(xiàn)遞增的趨勢;在腹板相同的情況下,階數(shù)越高,則齒輪的固有頻率越大。

4.從上述曲線和圖形表明:

(1)齒輪的固有頻率與齒輪的材料有關(guān),在相同階數(shù)的情況下,齒輪材料的彈性模量越大,則齒輪的固有頻率越大;

(2)齒輪的固有頻率和齒輪的結(jié)構(gòu)有關(guān),在相同階數(shù)的情況下,齒輪的固有頻率隨腹板厚度的增大而增大;

(3)齒輪的低階振型主要為扭轉(zhuǎn)振動和彎曲振動,階數(shù)越高,振動位移越大,從振型圖可以看出齒輪的薄弱環(huán)節(jié)在齒根處和輪齒接觸面上,從而可以對齒輪進(jìn)行針對性優(yōu)化。

轉(zhuǎn)自:上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院

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