有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢

2016-12-15  by:CAE仿真在線  來源:互聯(lián)網(wǎng)

一、有限元法基本思想

有限元法的基本思想是將結構離散化,用有限個簡單的單元來表示復雜的對象,單元之間通過有限個節(jié)點相互連接,然后根據(jù)平衡和變形協(xié)調(diào)條件綜合求解。由于單元的數(shù)目是有限的,節(jié)點的數(shù)目也是有限的,所以稱為有限元法(FEM,Finite Element Method)。

有限單元方法是迄今為止最為有效的數(shù)值計算方法之一,它對科學與工程技術的提供巨大支撐。

二、有限元法的孕育過程及誕生和發(fā)展

• 在17世紀,牛頓和萊布尼茨發(fā)明了積分法,證明了該運算具有整體對局部的可加性。

  
  

• 在18世紀,著名數(shù)學家高斯提出了加權余值法及線性代數(shù)方程組的解法。另一位數(shù)學家Lagrange提出泛函分析。泛函分析是將偏微分方程改寫為積分表達式的另一途經(jīng)。

  
  

• 在19世紀末及20世紀初,數(shù)學家瑞雷和里茲首先提出可對全定義域運用位移函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。

  
  

• 1915年,數(shù)學家伽遼金提出了選擇位移函數(shù)中形函數(shù)的伽遼金法方法被廣泛地用于有限元。

  
  

• 1943年,數(shù)學家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽丝稍诙x域內(nèi)分片地使用位移函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。這實際上就是有限元的做法。

  
  

• 20世紀50年代,飛機設計師們發(fā)現(xiàn)無法用傳統(tǒng)的力學方法分析飛機的應力、應變等問題。波音公司的一個技術小組,首先將連續(xù)體的機翼離散為三角形板塊的集合來進行應力分析,經(jīng)過一番波折后獲得成功。(Clough教授參與研究。)

  
  

• 20世紀50年代,大型電子計算機投入了解算大型代數(shù)方程組的工作,這為實現(xiàn)有限元技術準備好了物質(zhì)條件。

  
  

• 1960年,美國加州大學伯克利分校的R.W.Clough教授在論文中提出了“有限單元”,這樣的名詞。值得驕傲的是我國南京大學馮康教授在此前后獨立地在論文中提出了“有限單元”。

三、有限元法計算方法及軟件

有限元計算方法作為一種技術更多的與FEM軟件的發(fā)展緊密的結合起來。方法不斷更新,優(yōu)勝劣汰,傳承和發(fā)展。在傳統(tǒng)有限元分析的數(shù)值計算方法之中,有直接計算法(DirectSolver)與迭代法(Iterative 所謂快速解法)兩種。

常見的有限元軟件有:美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、MARC 、COSMOS、ELAS、 MSC 和STARDYNE,德國的ASKA、英國的PAFEC、法國的 SYSTUS等。

顯式/隱式有限元法:只需對可以簡化為對角陣的質(zhì)量矩陣求逆,沒有增量步內(nèi)迭代收斂問題,可以一直計算下去。隱式計算具有時間步長增量較大、每個荷載步都能控制收斂,避免誤差累積、存在迭代不收斂的問題、計算量隨計算規(guī)模增大而成超線性增長的特點。相對與隱式顯式計算具有時間步長很小、誤差累積、不存在迭代不收斂的問題、計算量隨計算規(guī)?；緸榫€性增長的特點。這種計算方法的代表軟件有ABQUS。

離散單元法:離散單元法也被稱為散體單元法,最早是1971年 由Cundall提出的一種不連續(xù)數(shù)值方法模型,這種方法的優(yōu)點是 適用于模擬離散顆粒組合體在準靜態(tài)或動態(tài)條件下的變形過程。 離散單元法不是建立在最小勢能變分原理上,而是建立在最基本 的牛頓第二運動定律上。它以每個剛體的運動方程為基礎,建立 描述整個破壞過程的顯式方程組后,通過動力松弛迭代求解。

筒倉卸料模型

剛體彈簧單元法:剛體彈簧單元法(RigidBodySpringMethod,RBSM) 最早由Kawai于1976年提出,當初提出的意圖是以較少的自由度來 求解結構問題。它把體系分解為一些由均布在接觸面上的彈簧系 統(tǒng)聯(lián)系起來的剛性元,剛性元本身不發(fā)生彈性變形,因此結構的 變形能僅能儲存在接觸面的彈簧系統(tǒng)中。由于剛體彈簧元單元間 的作用力通過單元界面上彈簧傳遞,可以直接得到界面的作用力, 因此在巖土界面分析等領域也有著較好的應用。

管樁壓入土壤過程

接觸判斷法:通過單元之間的相互接觸判斷得到相互之間的作 用力,進而形成運動方程。因此,快速而準確的接觸算法對有 限元方法非常重要。由于由于計算過程中單元往往會發(fā)生較大位 移,使得原有的塊體間的空間拓撲關系發(fā)生變化,使接觸判斷變 得更加復雜。

輕型裝配式鋼結構插接式節(jié)點接觸分析

無網(wǎng)格法:傳統(tǒng)有限元需要構造特定的單元網(wǎng)格來形成位置插 值函數(shù),是否可以讓計算機根據(jù)節(jié)點信息來“自動”形成位移插 值函數(shù)?無網(wǎng)格法可以實現(xiàn)。無網(wǎng)格法對函數(shù)的要求有:

• 光滑連續(xù);

• 影響的節(jié)點有限。

無網(wǎng)格法常用插值方法有: 移動最小二乘、核函數(shù)與徑向基函數(shù)。整體方程有配點法、 最小二乘法、伽遼金法。伽遼金法是應用最廣、最穩(wěn)定的無網(wǎng) 格法之一。

XFEM:1999年提出,擴展有限元法(XFEM),在 Belytschko等學者努力下XFEM得到長足發(fā)展,在ABAQUS的6.10版本軟件中得以實現(xiàn)。

四、結構工程領域有限元法的發(fā)展趨勢

1. 多物理場耦合問題

近年來有限元方法已發(fā)展到流體力學、溫度場、電傳導、 磁場、滲流和聲場等問題的求解計算,最近又發(fā)展到求解 幾個交叉學科的問題。如需要用固體力學和流體動力學的 有限元分析結果交叉迭代求解,即所謂“流固耦合”的問題。

河南永豐石拱橋倒塌

2. 線性工程問題到非線性分析問題

線性理論已經(jīng)遠遠不能滿足設計的要求。例如土木工程中 的高層建筑和大跨度懸索橋的出現(xiàn),就要求考慮結構的大位 移和大應變等幾何非線性問題;

航天和動力工程的高溫部件存在熱變形和熱應力,也要考慮材料的非線性問題;諸如塑料、橡膠和復合材料等各種新材料的出現(xiàn),僅靠線性計算理論就不足以解決遇到的問題,只有 采用非線性有限元算法才能解決。

預應力混凝土梁開裂過程

3. 時變結構及連續(xù)倒塌問題

結構不可能天生就存在那里,也不可能憑空消失,所以 結構物的建造或則拆除過程,均為動態(tài)的,在不同階段可能表現(xiàn)出不同力學性能,其中存在很多復雜問題。有限元對于此類過程分析,往往根據(jù)施工過程,編制時程程序,動態(tài)跟蹤結構性能變化。

4. 優(yōu)化問題:

在有限元中有這幾個方面的需求,如邊界形狀優(yōu)化、最小質(zhì)量、等強度、等應變、動力學參數(shù)優(yōu)化等,優(yōu)化問題的特點是變量多(幾十/數(shù)百),許多實際的優(yōu)化算法這樣多的變量中穩(wěn)健性還有待提高。

5. 湍流問題:

目前已經(jīng)有一些較好的方法,如有限體積法等,仍需深入,目前湍流問題實際上根本不是算法問題,而是介質(zhì)的物理模型問題;人們對湍流的認識可能還受到目前科學技術水平的限制。

五、結語

有限元法不是萬能的,關鍵是其思想,它完美地體現(xiàn)了哲學中 局部與整體的關系,要解決整體問題,必須先研究局部問題, 局部問題研究清楚后,再研究局部之間作用的關系,然后各 個局部在一個統(tǒng)一的坐標尺度下綜合,考慮整個系統(tǒng)和外部的 關系,最后得到全局的特征。

有限元方法是我們認識世界的科學工具,但它的哲學含義、方 法論含義還遠沒有為人們所認識。

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