怎么看“史密斯圓圖” Smith chart？

2017-05-03  by:CAE仿真在線  來源:互聯(lián)網(wǎng)

不管多么經(jīng)典的射頻教程,為什么都做成黑白的呢?讓想理解史密斯原圖的同學一臉懵逼。

今天解答三個問題:

1、是什么?

2、為什么?

3、干什么?

1、是什么?

該圖表是由菲利普·史密斯(Phillip Smith)于1939年發(fā)明的,當時他在美國的RCA公司工作。史密斯曾說過,“在我能夠使用計算尺的時候,我對以圖表方式來表達數(shù)學上的關(guān)聯(lián)很有興趣”。

史密斯圖表的基本在于以下的算式。

當中的Γ代表其線路的反射系數(shù)(reflection coefficient)

即S參數(shù)(S-parameter)里的S11,ZL是歸一負載值,即ZL / Z0。當中,ZL是線路本身的負載值,Z0是傳輸線的特征阻抗(本征阻抗)值,通常會使用50Ω。

簡單的說:就是類似于數(shù)學用表一樣,通過查找,知道反射系數(shù)的數(shù)值。

2、為什么?

我們現(xiàn)在也不知道,史密斯先生是怎么想到“史密斯圓圖”表示方法的靈感,是怎么來的。

很多同學看史密斯原圖,屎記硬背,不得要領(lǐng),其實沒有揣摩,史密斯老先生的創(chuàng)作意圖。

我個人揣測:是不是受到黎曼幾何的啟發(fā),把一個平面的坐標系,給“掰彎”了。

我在表述這個“掰彎”的過程,你就理解,這個圖的含義了。(坐標系可以掰彎、人盡量不要“彎”;如果已經(jīng)彎了,本人表示祝福)

世界地圖,其實是一個用平面表示球體的過程,這個過程是一個“掰直”。

史密斯原圖,巧妙之處,在于用一個圓形表示一個無窮大的平面。

2.1、首先,我們先理解“無窮大”的平面。

首先的首先,我們復(fù)習一下理想的電阻、電容、電感的阻抗。

在具有電阻、電感和電容的電路里,對電路中的電流所起的阻礙作用叫做阻抗。阻抗常用Z表示,是一個復(fù)數(shù),實際稱為電阻,虛稱為電抗,其中電容在電路中對交流電所起的阻礙作用稱為容抗 ,電感在電路中對交流電所起的阻礙作用稱為感抗,電容和電感在電路中對交流電引起的阻礙作用總稱為電抗。 阻抗的單位是歐姆。

R,電阻:在同一電路中,通過某一導體的電流跟這段導體兩端的電壓成正比,跟這段導體的電阻成反比,這就是歐姆定律。

標準式:

如果引入數(shù)學中復(fù)數(shù)的概念,就可以將電阻、電感、電容用相同的形式復(fù)阻抗來表示。既:電阻仍然是實數(shù)R(復(fù)阻抗的實部),電容、電感用虛數(shù)表示,分別為:

Z= R+i( ωL–1/(ωC))

說明:負載是電阻、電感的感抗、電容的容抗三種類型的復(fù)物,復(fù)合后統(tǒng)稱“阻抗”,寫成數(shù)學公式即是:阻抗Z= R+i(ωL–1/(ωC))。其中R為電阻,ωL為感抗,1/(ωC)為容抗。

(1)如果(ωL–1/ωC) > 0,稱為“感性負載”;

(2)反之,如果(ωL–1/ωC) < 0稱為“容性負載”。

我們仔細看阻抗公式,它不再是一個實數(shù)。它因為電容、電感的存在,它變成了一個復(fù)數(shù)。

電路中如果只有電阻,只影響幅度變化。

我們通過上圖,我們知道,正弦波的幅度發(fā)生了變化,同時,相位也發(fā)生了變化,同時頻率特性也會變化。所以我們在計算的過程中,即需要考慮實部,也需要考慮虛部。

我們可以在一個復(fù)平面里面,以實部為x軸、以虛部為y軸,表示任意一個復(fù)數(shù)。我們的阻抗,不管多少電阻、電容、電感串聯(lián)、并聯(lián),之后,都可以表示在一個復(fù)平面里面。

在 RLC 串聯(lián)電路中,交流電源電壓 U = 220 V,頻率 f = 50 Hz,R = 30 Ω,L =445 mH,C =32 mF。

在上圖中,我們看到通過幾個矢量的疊加,最終阻抗在復(fù)平面中,落在了藍色的圓點位置。

所以,任意一個阻抗的計算結(jié)果,我們都可以放在這個復(fù)平面的對應(yīng)位置。

各種阻抗的情況,組成了這個無窮大的平面。

2.2、反射公式

信號沿傳輸線向前傳播時,每時每刻都會感受到一個瞬態(tài)阻抗,這個阻抗可能是傳輸線本身的,也可能是中途或末端其他元件的。對于信號來說,它不會區(qū)分到底是什么,信號所感受到的只有阻抗。如果信號感受到的阻抗是恒定的,那么他就會正常向前傳播,只要感受到的阻抗發(fā)生變化,不論是什么引起的(可能是中途遇到的電阻,電容,電感,過孔,PCB轉(zhuǎn)角,接插件),信號都會發(fā)生反射。

錢塘江大潮,就是河道的寬度變化引起了反射,這跟電路中阻抗不連續(xù),導致信號反射,可以類比。反射聚集的能量疊加在一起,引起的過沖。也許這個比喻不恰當,但是挺形象。

那么有多少被反射回傳輸線的起點?衡量信號反射量的重要指標是反射系數(shù),表示反射電壓和原傳輸信號電壓的比值。

反射系數(shù)定義為:

其中:Z0為變化前的阻抗,ZIN為變化后的阻抗。假設(shè)PCB線條的特性阻抗為50歐姆,傳輸過程中遇到一個100歐姆的貼片電阻,暫時不考慮寄生電容電感的影響,把電阻看成理想的純電阻,那么反射系數(shù)為:

如果傳輸信號的電壓是3.3V電壓,反射電壓就是1.1V。 純電阻性負載的反射是研究反射現(xiàn)象的基礎(chǔ),阻性負載的變化無非是以下四種情況:阻抗增加有限值、減小有限值、開路(阻抗變?yōu)闊o窮大)、短路(阻抗突然變?yōu)?)。

初始電壓,是源電壓Vs(2V)經(jīng)過Zs(25歐姆)和傳輸線阻抗(50歐姆)分壓。

Vinitial=1.33V

后續(xù)的反射率按照反射系數(shù)公式進行計算

源端的反射率,是根據(jù)源端阻抗(25歐姆)和傳輸線阻抗(50歐姆)根據(jù)反射系數(shù)公式計算為-0.33;

終端的反射率,是根據(jù)終端阻抗(無窮大)和傳輸線阻抗(50歐姆)根據(jù)反射系數(shù)公式計算為1;

我們按照每次反射的幅度和延時,在最初的脈沖波形上進行疊加就得到了這個波形,這也就是為什么,阻抗不匹配造成信號完整性不好的原因。

那么我們做一個重要的假設(shè)!

為了減少未知參數(shù)的數(shù)量,可以固化一個經(jīng)常出現(xiàn)并且在應(yīng)用中經(jīng)常使用的參數(shù)。這里Z0 (特性阻抗)通常為常數(shù)并且是實數(shù),是常用的歸一化標準值,如50Ω、75Ω、100Ω和600Ω。

假設(shè)Z0一定,為50歐姆。(為什么是50歐姆,此處暫時不表;當然也可以做其他假設(shè),便于理解,我們先定死為50Ω)。

那么,根據(jù)反射公式,我們得到一個重要的結(jié)論:

我們把對應(yīng)關(guān)系描繪到剛剛我們說的“復(fù)平面”。

于是我們可以定義歸一化的負載阻抗:

好了,我們在復(fù)平面里面,忘記Zin,只記得z(小寫)和反射系數(shù)“?！?。

準備工作都做好了,下面我們準備“彎了”

2.3 掰彎

在復(fù)平面中,有三個點,反射系數(shù)都為1,就是橫坐標的無窮大,縱坐標的正負無窮大。歷史上的某天,史密斯老先生,如有神助,把黑色線掰彎了,把上圖中,三個紅色圈標注的點,捏到一起。

彎了,彎了

雖然,無窮大的平面變成了一個圓,但是,紅線還是紅線,黑線還是黑線。

同時我們在,原來的復(fù)平面中增加三根線,它們也隨著平面閉合而彎曲。

紅色的線上的阻抗,有個特點:虛部為0;(電感、電容為0)

綠色的線上的阻抗,有個特點:實部為1;(電阻為50歐姆)

紫色的線上的阻抗,有個特點:虛部為-1;

藍色的線上的阻抗,有個特點:虛部為1;

線上的阻抗特性,我們是從復(fù)平面,平移到史密斯原圖的,所以特性跟著顏色走,特性不變。

因為史密斯圓圖是一種基于圖形的解法,所得結(jié)果的精確度直接依賴于圖形的精度。下面是一個用史密斯圓圖表示的RF應(yīng)用實例:

例: 已知特性阻抗為50Ω,負載阻抗如下:

Z1 = 100 + j50Ω	Z2 = 75 - j100Ω	Z3 = j200Ω	Z4 = 150Ω
Z5 = ∞ (an open circuit)	Z6 = 0 (a short circuit)	Z7 = 50Ω	Z8 = 184 - j900Ω

對上面的值進行歸一化并標示在圓圖中(見圖5):

z1 = 2 + j	z2 = 1.5 - j2	z3 = j4	z4 = 3
z5 = 8	z6 = 0	z7 = 1	z8 = 3.68 - j18

我們看不清上圖。

如果是“串聯(lián)”,我們可以在清晰的史密斯原圖上,先確定實部(紅線上查找,原來復(fù)平面的橫坐標),再根據(jù)虛部的正負,順著圓弧滑動,找到我們對應(yīng)的阻抗。(先忽略下圖中的綠色線)

我們既可以通過直角坐標,去直接讀取反射系數(shù)的值,也可以通過極坐標,讀取反射系數(shù)的值。

直角坐標

畫出阻抗點(等阻抗圓和等電抗圓的交點),只要讀出它們在直角坐標水平軸和垂直軸上的投影,就得到了反射系數(shù)的實部Γr和虛部Γi (見圖6)。

該范例中可能存在八種情況,在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對應(yīng)的反射系數(shù)Γ:

Γ1 = 0.4 + 0.2j	Γ2 = 0.51 - 0.4j	Γ3 = 0.875 + 0.48j	Γ4 = 0.5
Γ5 = 1	Γ6 = -1	Γ7 = 0	Γ8 = 0.96 - 0.1j

極坐標

2.4 紅色陣營VS綠色陣營

剛剛我們已經(jīng)注意到,史密斯原圖,除了有紅色的曲線,是從阻抗復(fù)平面掰彎,過來的紅色世界。同時,在圖中,還有綠色的曲線,他們是從導納復(fù)平面,掰彎產(chǎn)生的。過程跟剛剛的過程是一樣的。

那么這個導納的綠色,有什么用呢?

并聯(lián)電路,用導納計算,我們會很便利。同時在史密斯原圖中,我們用導納的綠色曲線進行查詢,也會很方便。

如圖,這樣并聯(lián)一個電容,通過綠色的曲線很快就可以查詢到對應(yīng)的歸一化阻抗和反射系數(shù)。

3、干什么?

解釋和介紹了史密斯圓圖這么長的段落,別忘了,我們想干什么。我們實際是希望,我們設(shè)計的電路反射系數(shù)越接近0越好。

但是,什么樣的電路是合格的電路呢?反射系數(shù)不可能理想的為0,那么我們對反射系數(shù),有什么樣的要求呢?

我們希望反射系數(shù)的絕對值小于1/3,即反射系數(shù)落入史密斯圓圖的藍色區(qū)域中(如下圖)。

這個藍色的球,有什么特色呢?其實我們通過史密斯原圖的數(shù)值已經(jīng)清楚的發(fā)現(xiàn)。在中軸線,也就是之前說的紅線上,分別是25歐姆,和100歐姆兩個位置。即:Zin在1/2 Zo和2倍Zo之間的區(qū)域。

也就是,我們打靶打在藍色區(qū)域,即認為反射系數(shù)是可以接受的。

關(guān)于史密斯圓圖還有很多有趣和有用的現(xiàn)象。歡迎大家留言探討。

來源:硬件十萬個為什么

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