理解時域、頻域、FFT和加窗，加深對信號的認(rèn)識

2017-04-13  by:CAE仿真在線  來源:互聯(lián)網(wǎng)

學(xué)習(xí)信號時域和頻域、快速傅立葉變換(FFT)、加窗,以及如何通過這些操作來加深對信號的認(rèn)識。

傅立葉變換有助于理解常見的信號,以及如何辨別信號中的錯誤。盡管傅立葉變換是一個復(fù)雜的數(shù)學(xué)函數(shù),但是通過一個測量信號來理解傅立葉變換的概念并不復(fù)雜。從根本上說,傅立葉變換將一個信號分解為不同幅值和頻率的正弦波。我們繼續(xù)來分析這句話的意義所在。

所有信號都是若干正弦波的和

我們通常把一個實(shí)際信號看作是根據(jù)時間變化的電壓值。這是從時域的角度來觀察信號。

傅立葉定律指出,任意波形在時域中都可以由若干個正弦波和余弦波的加權(quán)和來表示。例如,有兩個正弦波,其中一個的頻率是另一個的3倍。將兩個正弦波相加,就得到了一個不同的信號。

圖1 兩個信號相加,得到一個新的信號

假設(shè)第二號波形幅值也是第一個波形的1/3。此時,只有波峰受影響。

圖2 信號相加時調(diào)整幅值影響波峰

假加上一個幅值和頻率只有原信號1/5的信號。按這種方式一直加,直到觸碰到噪聲邊界,您可能會認(rèn)出結(jié)果波形。

圖3 方波是若干正弦波的和

您創(chuàng)建了一個方波。通過這種方法,所有時域中的信號都可表示為一組正弦波。

即使可以通過這種方法構(gòu)造信號,那意味著什么呢? 因?yàn)榭梢酝ㄟ^正弦波構(gòu)造信號,同理也可以將信號分解為正弦波。

一旦信號被分解,可查看和分析原信號中不同頻率的信號。請參考信號分解的下列使用實(shí)例:

• 分解廣播信號,可選擇要收聽的特定頻率(電臺)。

• 將聲頻信號分解為不同頻率的信號(例如,低音、高音),可增強(qiáng)特定頻段,移除噪聲。

• 根據(jù)速度和強(qiáng)度分解地震波形,可優(yōu)化樓宇設(shè)計,避免強(qiáng)烈震動。

• 分解計算機(jī)數(shù)據(jù)時,可忽略頻率重要性最低的數(shù)據(jù),這樣就能更緊湊地利用內(nèi)存。這就是文件壓縮的原理。

傅立葉變換將一個時域信號轉(zhuǎn)換為頻域信號。頻域信號顯示了不同頻率對應(yīng)的電壓。 頻域是另一種觀察信號的角度。

數(shù)字化儀對波形進(jìn)行采樣,然后將采樣轉(zhuǎn)換為離散的值。因?yàn)榘l(fā)生了轉(zhuǎn)換,傅立葉轉(zhuǎn)換在這些數(shù)據(jù)上無法進(jìn)行。 可使用離散傅立葉變換(DFT),其結(jié)果是離散形式的頻域信號。FFT是DFT的一種優(yōu)化實(shí)現(xiàn),計算量較少,但是本質(zhì)上是對信號的分解。

請查看上圖1中的信號。有兩個頻率不同的信號。在該情況下,頻域中就會顯示兩條表示不同頻率的豎線。

圖4 當(dāng)相同幅值的兩個正弦波相加,在頻域中就顯示為兩條頻率豎線

原信號的幅值在豎軸上表示。圖2中有個不同幅值的信號。頻域中最高的豎線對應(yīng)于最高電壓的正弦信號。在頻域里觀察信號,可直觀地看出最高電壓發(fā)生在哪個頻率上。

圖5 最高的豎線是幅值最大的頻率

在頻域里也可觀察到信號的形狀。例如,頻域中方波信號的形狀。使用不同頻率的正弦波創(chuàng)建一個方波。即可預(yù)見,在頻域中,這些信號都會被表示為一根豎線,每一根豎線都表示組成方波的正弦波。如頻域中,豎線顯示為一個梯度,就可知道原信號是一個方波信號。

圖6 頻域中表示正弦波的豎線呈現(xiàn)為一個梯度

現(xiàn)實(shí)生活中,情況是怎樣的呢? 許多混合信號示波器(MSO)都有FFT功能。下圖中,你可以觀察到混合信號圖中,方波FFT是如何顯示的。放大后可觀察到頻域中的尖峰。

圖7 上圖為原正弦波和FFT,下圖是放大的FFT,可觀察到表示頻率的尖峰

在頻域中觀察信號有助于驗(yàn)證和發(fā)現(xiàn)信號中的問題。例如,假設(shè)有一個輸出正弦波的電路?？稍谑静ㄆ魃喜榭磿r域輸出信號,如圖8所示?？瓷先]有任何問題!

圖8 如果將兩個很相似的波形相加,仍然會得到一個完美的正弦波

在頻域中查看信號時,如果輸出的正弦波頻率穩(wěn)定,應(yīng)該只在頻率中顯示為一條豎線。但是,可以看到在更高的頻率上仍然有一條豎線,表示正弦波并不如觀察到的那么完美?？蓢L試優(yōu)化電路,去除特定頻率的噪聲。在頻域中顯示信號有助于發(fā)現(xiàn)信號中的干擾、噪聲和抖動。

圖9 查看圖8中看似完美的正弦波,可以看出波形中有一個抖動

FFT提供了觀察信號的新視角,但是FFT也有各種限制,可通過加窗增加信號的清晰度。

什么是加窗?

使用FFT分析信號的頻率成分時,分析的是有限的數(shù)據(jù)集合。FFT認(rèn)為波形是一組有限數(shù)據(jù)的集合,一個連續(xù)的波形是由若干段小波形組成的。對于FFT而言,時域和頻域都是環(huán)形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。時間上,波形的前后兩個端點(diǎn)是相連的。如測量的信號是周期信號,采集時間內(nèi)剛好有整數(shù)個周期,那么FFT的上述假設(shè)合理。

圖10 測量整數(shù)個周期(上圖)可以得到理想的FFT(下圖)

在很多情況下,并不能測量到整數(shù)個周期。因此,測量到的信號就會被從周期中間切斷,與時間連續(xù)的原信號顯示出不同的特征。有限數(shù)據(jù)采樣會使測量信號產(chǎn)生劇烈的變化。 這種劇烈的變化稱為不連續(xù)性。

采集到的周期為非整數(shù)時,端點(diǎn)是不連續(xù)的。這些不連續(xù)片段在FFT中顯示為高頻成分。這些高頻成分不存在于原信號中。這些頻率可能遠(yuǎn)高于奈奎斯特頻率,在0~采樣率的一半的頻率區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生混疊。使用FFT獲得的頻率,不是原信號的實(shí)際頻率,而是一個改變過的頻率。類似于某個頻率的能量泄漏至其他頻率。這種現(xiàn)象叫做頻譜泄漏。頻率泄漏使好的頻譜線擴(kuò)散到更寬的信號范圍中。

圖11 測量非整數(shù)個周期(上圖)將頻譜泄漏添加至FFT(下圖)

可通過加窗來盡可能減少在非整數(shù)個周期上進(jìn)行FFT產(chǎn)生的誤差。數(shù)字化儀采集到的有限序列的邊界會呈現(xiàn)不連續(xù)性。加窗可減少這些不連續(xù)部分的幅值。加窗包括將時間記錄乘以有限長度的窗,窗的幅值逐漸變小,在邊沿處為0。加窗的結(jié)果是盡可能呈現(xiàn)出一個連續(xù)的波形,減少劇烈的變化。這種方法也叫應(yīng)用一個加窗。

圖12 加窗可盡可能減少頻譜泄漏

加窗函數(shù)

根據(jù)信號的不同,可選擇不同類型的加窗函數(shù)。要理解窗對信號頻率產(chǎn)生怎樣的影響,就要先理解窗的頻率特性。

窗的波形圖顯示了窗本身為一個連續(xù)的頻譜,有一個主瓣,若干旁瓣。主瓣是時域信號頻率成分的中央,旁瓣接近于0。旁瓣的高度顯示了加窗函數(shù)對于主瓣周圍頻率的影響。對強(qiáng)正弦信號的旁瓣響應(yīng)可能會超過對較近的弱正弦信號主瓣響應(yīng)。

一般而言,低旁瓣會減少FFT的泄漏,但是增加主瓣的帶寬。旁瓣的跌落速率是旁瓣峰值的漸進(jìn)衰減速率。增加旁瓣的跌落速率,可減少頻譜泄漏。

選擇加窗函數(shù)并非易事。每一種加窗函數(shù)都有其特征和適用范圍。要選擇加窗函數(shù),必須先估計信號的頻率成分。

• 如果您的信號具有強(qiáng)干擾頻率分量,與感興趣分量相距較遠(yuǎn),那么就應(yīng)選擇具有高旁瓣下降率的平滑窗。

• 如果您的信號具有強(qiáng)干擾頻率分量,與感興趣分量相距較近,那么就應(yīng)選擇具有低最大旁瓣的窗。

• 如果感興趣頻率包含兩種或多種很距離很近的信號,這時頻譜分辨率就非常重要。 在這種情況下,最好選用具有窄主瓣的平滑窗。

• 如果一個頻率成分的幅值精度比信號成分在某個頻率區(qū)間內(nèi)精確位置更重要,選擇寬主瓣的窗。

• 如信號頻譜較平或頻率成分較寬,使用統(tǒng)一窗,或不使用窗。

• 總之,Hanning窗適用于95%的情況。 它不僅具有較好的頻率分辨率,還可減少頻譜泄露。如果您不知道信號特征但是又想使用平滑窗,那么就選擇Hanning窗。

即使不使用任何窗,信號也會與高度一致的長方形窗進(jìn)行卷積運(yùn)算。本質(zhì)上相當(dāng)于對時域輸入信號進(jìn)行截屏,對離散信號也有效。該卷積有一個正弦波函數(shù)特性的頻譜。基于該原因,沒有窗叫做統(tǒng)一窗或長方形窗。

Hamming窗和Hanning窗都有正弦波的外形。兩個窗都會產(chǎn)生寬波峰低旁瓣的結(jié)果。Hanning窗在窗口的兩端都為0,杜絕了所有不連續(xù)性。Hamming窗的窗口兩端不為0,信號中仍然會呈現(xiàn)不連續(xù)性。Hamming窗擅長減少最近的旁瓣,但是不擅長減少其他旁瓣。Hamming窗和Hanning適用于對頻率精度要求較高對旁瓣要求較低的噪聲測量。

圖13 Hamming和Hanning都會產(chǎn)生寬波峰低旁瓣的結(jié)果

Blackman-Harris窗類似于Hamming和Hanning窗。得到的頻譜有較寬的波峰,旁瓣有壓縮。該窗主要有兩種類型。4階Blackman-Harris是一種通用窗,在高90s dB處具有旁瓣抑制功能,有較寬的主瓣。7階Blackman-Harris窗函數(shù)有寬廣的動態(tài)范圍,有較寬的主瓣。

圖14 Blackman-Harris窗的結(jié)果是較寬的波峰,旁瓣有壓縮

Kaiser-Bessel窗在幅值精度、旁瓣距離和旁瓣高度之間取得了較好的平衡。Kaiser-Bessel窗與Blackman-Harris窗類似,對于相同的主瓣寬度而言,較近的旁瓣更高,較遠(yuǎn)的旁瓣更低。選擇該窗通常會將信號泄漏至離噪聲較近的位置。

Flat top窗也是一個正弦波,穿過0線。Flat top窗的結(jié)果是在頻域中產(chǎn)生一個顯著寬廣的波峰,與其他窗相比離信號的實(shí)際幅值更近。

圖15 Flat top窗具有更精確的幅值信息

上面列舉了幾種常見的窗函數(shù)。 選擇窗函數(shù)并沒有一個通行的方法。下表可幫助您做出初步選擇。請始終比較窗函數(shù)的性能,從而找到最適合的一種窗函數(shù)。

總結(jié)

• 所有時域中的信號都可表示為一組正弦波。

• FFT變換將一個時域信號分解為在頻域中表示,并分析信號中的不同頻率成分。

• 在頻域中顯示信號有助于發(fā)現(xiàn)信號中的干擾、噪聲和抖動。

• 信號中如果包含非整數(shù)個周期,會發(fā)生頻率泄漏。可通過加窗來改善該情況。

• 數(shù)字化儀采集到的有限序列的邊界會呈現(xiàn)不連續(xù)性。加窗可減少這些不連續(xù)部分的幅值。

• 沒有窗叫做統(tǒng)一窗或長方形窗,因?yàn)榧哟靶Ч匀淮嬖凇?/span>

• 一般情況下,Hanning窗適用于95%的情況。它不僅具有較好的頻率分辨率,還可減少頻譜泄露。

• 請始終比較窗函數(shù)的性能,從而找到最適合的一種窗函數(shù)。

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