CFD最基本的數(shù)學(xué)概念：張量

2017-08-12 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

在CFD的學(xué)習(xí)中,最先接觸的無非就是張量、導(dǎo)數(shù)以及各種積分定律了。本文簡單介紹CFD中最基本的張量。

標(biāo)量

標(biāo)量是一個(gè)單一的值,在任意的坐標(biāo)系統(tǒng)中,標(biāo)量都是單一的值(重復(fù)一遍)。其表示某一空間點(diǎn)和某一時(shí)間點(diǎn)具有單位的物理特性。典型的標(biāo)量為流場溫度、質(zhì)量分?jǐn)?shù)。其和流場的位置以及某一時(shí)刻均有關(guān)。標(biāo)量可用于對物理量的某1個(gè)特性進(jìn)行追蹤。

矢量

矢量具有大小和方向,在任意的坐標(biāo)系統(tǒng)中,矢量均具有三個(gè)分量。矢量可用于追蹤物理量的2個(gè)特性,例如大小和方向。CFD中最常見的矢量即為速度矢量。在三維坐標(biāo)下其具有三個(gè)速度分量。且速度的模表示速度的大小。

如果我們要追蹤某個(gè)物理量的3個(gè)特性怎么辦?

張量

張量不僅可以追蹤3個(gè)及3個(gè)以上特性。對于N階張量,其具有3^N個(gè)分量。例如,零階張量即為標(biāo)量,一階張量即為矢量。

二階張量的典型例子即為應(yīng)力以及形變率。

以應(yīng)力舉例,在各大教科書中我們均會(huì)發(fā)現(xiàn)類似下面的定義:

CFD最基本的數(shù)學(xué)概念：張量fluent仿真分析圖片1
其即為應(yīng)力張量(應(yīng)力)。它是一個(gè)二階張量,具有9個(gè)分量。對于應(yīng)力張量我們可以追蹤3個(gè)特性:大小、方向、作用的平面。

以下圖為例:

CFD最基本的數(shù)學(xué)概念：張量fluent仿真分析圖片2

作用于這個(gè)小正方體上面的應(yīng)力張量具有上述9個(gè)分量。τ_yx是一個(gè)標(biāo)量。其中的下標(biāo)yx具有兩個(gè)含義,第一個(gè)下標(biāo)y表示作用于和y坐標(biāo)軸垂直的平面,第二個(gè)下標(biāo)x表示作用于這個(gè)平面上的沿x方向的力。

通過應(yīng)力張量的定義,對小正方體的任意的撕扯都會(huì)被表達(dá)!

1.對于某些情況下,張量是對稱的,也就是τ_yx=τ_xy,τ_yz=τ_zy,τ_zx=τ_xz。在這種情況下,我們就只有6個(gè)獨(dú)立分量。

2. 某些情況下,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)分量為負(fù)值。這表示對小正方體向內(nèi)的擠壓。正值表示對小正面體向外的拉伸。

那么問題來了,CFD中的壓力到底是標(biāo)量還是矢量呢?

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